双向反射分布函数（bidirectional reflectance distribution function）$f_r(omega_i,omega_r)$是一个计算光照反射量的函数。$omega_i$表示输入光角度，$omega_r$表示反射光角度，函数返回反射光辐射率。$omega$由球面坐标系的$phi$,$theta$角度表示，因此brdf函数共有4个参数。brdf的单位是每立体角$sr^(-1)$。
辐射度量学(Radiometry)
| 物理量 | 符号 | 公式 | 国际单位制 | 单位符号 | 注释 |
|---|---|---|---|---|---|
| 辐射能（Radiant energy） | $Q_e$ | 焦耳 | $J$ | 能量。 | |
| 辐射通量（Radiant flux） | $Phi_e$ | $Phi=(dQ)/(dt)$ | 瓦特 | $W$ | 每单位时间的辐射能量，亦作“辐射功率”。 |
| 辐射强度（Radiant intensity） | $I_e$ | $I=(dPhi)/(d omega) | 瓦特每球面度 | $W*sr^(-1)$ | 每单位立体角的辐射通量。 |
| 辐照度（Irradiance）（辉度） | $E_e$ | $E=(dPhi)/(dA)=int_(Omega) L(omega)cos theta d omega$ | 瓦特每平方米 | $W*m^(-2)$ | 入射表面的辐射通量 |
| 辐射率（Radiance）(光亮度） | $L_e$ | $(d^2Phi)/(dAcos theta d omega)$ | 瓦特每球面度每平方米 | $W*sr^(-1)*m^(-2)$ | 每单位立体角每单位投射表面的辐射通量。相当于辐射强度在dA上的微分 |
BRDF由Fred Nicodemus在1965年提出，函数如下：
$$f_r(omega_i,omega_r) = (dL_r(omega_r))/(dE_i(omega_i)) = (dL_r(omega_r))/(L_i(omega_i)cos theta_i d omega_i) $$
这个公式之所以定义为辐射率（radiance）和辐照度（irradiance）之比，而不是radiance和radiance之比，或irradiance和irradiance之比。是因为当考虑入射时，我们需要考虑入射光在面积上的分量，所以irradiance译为辐照度。当考虑反射时，我们需要考虑每立体角的辐射通量，并且这个辐射通量最终投影在屏幕（视网膜）面积上的辐射通量，因此我们用辐射率。如果我们用点光源，入射光的计算似乎也是可以用辐射率的，但有时我们还要考虑平行光的情况，那么对于入射光就不存在每立体角的概念了，因此对于入射光照我们用辐照度，反射我们用辐射率。
基于物理的BRDF模型(PBR，Physically-based rendering)
次表面散射（Subsurface scattering）
是一些半透明物质比如皮肤、玉石、大理石、塑料等。当光入射到材料表面后，一部分被反射、一部分被吸收、还有一部分经历透射，透射光在材料内部进行多次不规则的反射之后，又从不同角度反射了回来。
菲涅尔反射（Fresnel Reflectance）
当光从一种折射率为$n_1$的介质向另一种折射率为$n_2$的介质传播时，在两者的交界处可能会同时发生光的反射和折射。菲涅尔方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情况，也描述了波反射时的相变。光线会随着我们的观察角度而反射不同的亮度，当我们以垂直与水面的角度观察池塘时，我们可以看到池塘的底部，但当我们以平行于水面的角度观察水面时，反射光则会很强我们无法看到池底。
微表面理论（Microfacet Theory）
微表面理论假设材质的表面是由不同方向的微小细节平面（microfacet）所构成，反射光线由这些微表面的法线分布决定。我们用法线分布函数（Normal Distribution Function，NDF），D(h) 来描述表面的法线分布概率。h表示视角与入射光角度之间的半程向量。
$$f(i,o) = (F(i,h)G(i,o,h)D(h))/(4(n,i)(n,o))$$
其中F(i,h)表示菲涅尔项，表示所有反射的比例。G(i,o,h) 表示自投影项，当光线几乎平射于微表面时，光线则将被粗糙的表面自我遮挡掉。D(h)表示法线分布。
参考:
Wikipedia:《Bidirectional reflectance distribution function》
《Real-Time Rendering, 4th edition》