BRDF双向反射分布函数

双向反射分布函数（bidirectional reflectance distribution function）${\displaystyle f_r({\omega }_i,{\omega }_r)}$是一个计算光照反射量的函数。${\displaystyle {\omega }_i}$表示输入光角度，${\displaystyle {\omega }_r}$表示反射光角度，函数返回反射光辐射率。${\displaystyle \omega }$由球面坐标系的${\displaystyle \varphi }$,${\displaystyle \theta }$角度表示，因此brdf函数共有4个参数。brdf的单位是每立体角${\displaystyle s{r}^{-1}}$。

辐射度量学(Radiometry)

物理量	符号	公式	国际单位制	单位符号	注释
辐射能（Radiant energy）	${\displaystyle Q_e}$		焦耳	${\displaystyle J}$	能量。
辐射通量（Radiant flux）	${\displaystyle {\Phi }_e}$	${\displaystyle \Phi =\frac{dQ}{dt}}$	瓦特	${\displaystyle W}$	每单位时间的辐射能量，亦作“辐射功率”。
辐射强度（Radiant intensity）	${\displaystyle I_e}$	$I=(dPhi)/(d omega)	瓦特每球面度	${\displaystyle W\cdot s{r}^{-1}}$	每单位立体角的辐射通量。
辐照度（Irradiance）（辉度）	${\displaystyle E_e}$	${\displaystyle E=\frac{d\Phi }{dA}={\int }_{\Omega }L\left(\omega \right)\cos \theta d\omega }$	瓦特每平方米	${\displaystyle W\cdot m^{-2}}$	入射表面的辐射通量
辐射率（Radiance）(光亮度）	${\displaystyle L_e}$	${\displaystyle \frac{d^2\Phi }{dA\cos \theta d\omega }}$	瓦特每球面度每平方米	${\displaystyle W\cdot s{r}^{-1}\cdot m^{-2}}$	每单位立体角每单位投射表面的辐射通量。相当于辐射强度在dA上的微分

BRDF由Fred Nicodemus在1965年提出，函数如下：

${\displaystyle f_r({\omega }_i,{\omega }_r)=\frac{d{L}_r\left({\omega }_r\right)}{d{E}_i\left({\omega }_i\right)}=\frac{d{L}_r\left({\omega }_r\right)}{L_i\left({\omega }_i\right){\cos \theta }_{i}d{\omega }_i}}$

这个公式之所以定义为辐射率（radiance）和辐照度（irradiance）之比，而不是radiance和radiance之比，或irradiance和irradiance之比。是因为当考虑入射时，我们需要考虑入射光在面积上的分量，所以irradiance译为辐照度。当考虑反射时，我们需要考虑每立体角的辐射通量，并且这个辐射通量最终投影在屏幕（视网膜）面积上的辐射通量，因此我们用辐射率。如果我们用点光源，入射光的计算似乎也是可以用辐射率的，但有时我们还要考虑平行光的情况，那么对于入射光就不存在每立体角的概念了，因此对于入射光照我们用辐照度，反射我们用辐射率。

基于物理的BRDF模型(PBR，Physically-based rendering)

次表面散射（Subsurface scattering）

是一些半透明物质比如皮肤、玉石、大理石、塑料等。当光入射到材料表面后，一部分被反射、一部分被吸收、还有一部分经历透射，透射光在材料内部进行多次不规则的反射之后，又从不同角度反射了回来。

菲涅尔反射（Fresnel Reflectance）

当光从一种折射率为${\displaystyle n_1}$的介质向另一种折射率为${\displaystyle n_2}$的介质传播时，在两者的交界处可能会同时发生光的反射和折射。菲涅尔方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情况，也描述了波反射时的相变。光线会随着我们的观察角度而反射不同的亮度，当我们以垂直与水面的角度观察池塘时，我们可以看到池塘的底部，但当我们以平行于水面的角度观察水面时，反射光则会很强我们无法看到池底。

微表面理论（Microfacet Theory）

微表面理论假设材质的表面是由不同方向的微小细节平面（microfacet）所构成，反射光线由这些微表面的法线分布决定。我们用法线分布函数（Normal Distribution Function，NDF），D(h) 来描述表面的法线分布概率。h表示视角与入射光角度之间的半程向量。

${\displaystyle f(i,o)=\frac{F(i,h)G(i,o,h)D\left(h\right)}{4(n,i)(n,o)}}$

其中F(i,h)表示菲涅尔项，表示所有反射的比例。G(i,o,h) 表示自投影项，当光线几乎平射于微表面时，光线则将被粗糙的表面自我遮挡掉。D(h)表示法线分布。

参考:

Wikipedia:《Bidirectional reflectance distribution function》

《Real-Time Rendering, 4th edition》

《Real-Time Rendering 3rd》提炼总结

Microfacet材质和多层材质——文刀秋二