从余弦定理到冯氏光照模型

1.勾股定理——宇宙的密码

$a^2+b^2=c^2$。下图是勾股定理的一个直观证明。

2. 余弦定理，角与边的关系

三条边可以确定一个三角形，已知三角形的三条边长，如何求出其角度呢？

由$cos,sin$定义可知
$$ c = a * cos beta + b * cos alpha $$
两边同乘c得：
$$ c^2 = ac * cos beta + bc * cos alpha $$
同理可得：
$$ a^2 = ac cos beta + ab * cos gamma $$
$$ b^2 = bc cos alpha + ab cos gamma $$
故：$$ a^2+b^2-c^2 = 2abcosgamma $$
可得：$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma $$

3. 向量的定义（方向）

4. 点积（dot product）的代数定义

两个向量的点积是一个标量。向量$$vec a=[a_1, a_2, … a_n]$$与向量$$vec b=[b_1, b_2, … b_n]$$的点积定义为: $$ vec a * vec b = sum_(i=1)^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + … a_n b_n $$。

点积有以下性质（证略）：

满足交换律 $$vec a * vec b = vec b * vec a$$
满足分配律 $$vec a * (vec b + vec c) = vec a * vec b + vec a * vec c$$
乘以标量时满足 $$ (c_1 vec a) * (c_2 vec b) = (c_1 c_2)(vec a * vec b)$$
不满足结合律。因为标量 $$ vec a * vec b $$ 与向量 $$ vec c $$ 的点积没有定义，所以$$(vec a * vec b) * vec c=vec a * (vec b * vec c)$$ 没有意义。

点积的代数定义简单实用，易于表示，也易于使用计算机程序处理。是线性代数的基本操作之一。

5. 点积的几何意义

对于任何一个n维向量有 $|vec a|^2=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$。根据勾股定理，这是很显然的。换个角度说如果没有勾股定理，这一步就不存在，后面的内容也不存在了。而勾股定理不是由代数方法证明的，而是独立于代数系统之外的空间基本性质。而空间和时间是宇宙最根本的本质。这就是勾股定理最神奇的地方。

我们根据点积的定义可知：$$ vec a * vec a = a_1 * a_1 + a_2 * a_2 + … a_n * a_n = |vec a|^2$$ 即 $$ vec a * vec a == |vec a|^2$$

我们根据余弦定理的向量表示可得：$$ vec c * vec c = vec a * vec a + vec b * vec b - 2 |vec a| |vec b| cos theta . (1)$$

根据向量的定义 $$ vec c = vec a - vec b $$ 有 $$ vec c * vec c = (vec a - vec b) * (vec a - vec b) = vec a * vec a + vec b * vec b - 2 vec a * vec b . (2)$$

结合等式$$(1)$$、$$(2)$$有 $$vec a * vec b = |vec a| |vec b| cos theta$$。一个看似简单的代数点积操作，竟然和夹角余弦相关，真是不可思议。

点积的几何意义是什么呢？关键就在这个$cos theta$，如果$$|vec b|$$为1时候，我们可以将$$vec a * vec b$$视为$$vec a $$在$$vec b$$方向上的投影长度。

6. 点积的物理意义（从数学到宇宙）

点积的物理意义就是向量在某方向上的投影长度。这在物理上可以表达力在某方向上的投影，光在某方向的投影，速度、加速度在某方向的投影。而点积的操作，可以使我们只需要关心这些物理量的向量表示，而不需要去关心夹角，不需要去计算三角函数。而在统计学、机器学习等方面，余弦可以表示两个向量之间的相似性，比如两个词向量，两个用户的兴趣向量等，应用非常广泛。下面就以计算机图形学举例来说明点积的应用。

冯氏光照模型将一个物体的光照分解为环境光+漫反射光+镜面反射光。

环境光比较简单就是一个常量。而漫反射光，则为光照强度在平面的法线方向的投影，与法线方向一致则光照最强。镜面反射光则为反射光方向在视角方向上的投影，与视角完全一致，则反射光最强。

OpenGL的shader大致如下：


vec3 CalcDirLight(DirLight light, vec3 normal, vec3 viewDir) {
    // normalize 归一化，使法线向量的长度为1
    vec3 lightDir = normalize(-light.direction);
    // 漫反射光. dot 计算cos* 强度， max把负值最多降到0，表示全黑。
    float diff = max(dot(normal, lightDir), 0.0);
    vec3 reflectDir = reflect(-lightDir, normal);
    // dot 计算反射光在视角上的cos分量，至少为0。使用pow，模拟镜面光焦点分布集中度，shininess越高要求反射分量越接近于1
    // 反射分量==1 表示必须视角恰巧与反射角完全一致才能看到反射光，也就是绝对镜面
    float spec = pow(max(dot(viewDir, reflectDir), 0.0), material.shininess);
    // 合并冯氏光照结果
    vec3 ambient = light.ambient * vec3(texture(material.diffuse, TexCoords));
    vec3 diffuse = light.diffuse * diff * vec3(texture(material.diffuse, TexCoords));
    vec3 specular = light.specular * spec * vec3(texture(material.specular, TexCoords));
    return (ambient + diffuse + specular);
}

2021-02-07